EJERCICIO IRRACIONALES

¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

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NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como ²²/₇ = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos

             

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EXPLICACIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS

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EJERCICIOS REALES

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EJERCICIO NATURALES

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NÚMEROS RACIONALES

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EJERCICIOS ENTEROS

Suma de enteros del mismo signo

Para sumar números enteros del mismo signo se suman y se deja el signo que tengan. Si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo.

Valor absoluto de un número entero

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo.

Se expresa encerrando este número entre dos barras | |.

Para aclararnos es el número entero sin el signo delante.

Sumar enteros de distinto signo

Para sumar números enteros de distinto signo se restan y se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Sumar enteros con paréntesis y corchetes

Para quitar los paréntesis aplicamos la regla de los signos:

    

Cuando no hay nada delante de un paréntesis, de un corchete o de un número hay un signo +.

Cuando tenemos paréntesis y corchetes, primero resolvemos y quitamos los paréntesis. Despues resolvemos y quitamos los corchetes.

Ejercicios con paréntesis y corchetes

Resolvemos los paréntesis y los quitamos aplicando la regla de los signos, hacemos lo mismo con los corchetes.

Agrupamos y sumamos fijándonos si los números son del mismo signo o de distinto signo.

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EJERCICIOS COMPLEJOS

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NÚMERO COMPLEJOS

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado.​ El conjunto de los números complejos se designa con la notación ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$, siendo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ el conjunto de los números reales se cumple que ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ está estrictamente contenido en ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra —pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja—, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.​

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NÚMEROS ENTEROS

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\cdots \}}$, sus inversos aditivos y el cero.¿​ Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\cdots ,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\,\cdots \}}$ letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos.

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos

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NÚMEROS RACIONALES

Construcción formal de los números racionales como pares ordenados.

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;​ es decir, una fracción común ${\displaystyle a/b}$ con numerador ${\displaystyle a}$ y denominador  distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.

Un número real que no es racional se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.

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NÚMEROS NATURALES

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada y ∈ x, y ⊆ x
2. La relación ∈_x = {(a, b) ∈ x • x | a ∈ b} es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden ∈_x

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que ∅ no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

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NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número $67$ que viene a ser un entero, o también el $\frac{3}{4}$, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es $3$ y su denominador es $4$. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número $\pi$ o $\sqrt{2}$ y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único.

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CONJUNTOS NUMÉRICOS: DEFINICIÓN

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.

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